Asal sayı mı? Asal sayı kontrolü

91 asal mı? En çok yanılınan sayılar

Hayır, 91 asal değildir: 91 = 7 × 13. Tek sayıdır, 5 ile bitmez, rakamları toplamı 10 olduğu için 3'e de bölünmez; akla gelen üç kontrolü geçtiği için asal sanılır.

Bu tuzağın bir düzeni var. İki basamaklı sayılar içinde 2'ye, 3'e ve 5'e bölünmediği hâlde asal olmayan yalnız 3 sayı bulunur: 49, 77, 91. Üçü de 7'nin katıdır. Yani iki basamaklı bir sayıda bu üç kontrolden sonra 7'yi de denediyseniz cevap kesindir. Üç basamakta iş uzar. 2, 3, 5 ve 7'yi geçip yine asal çıkmayan 63 sayı var, en küçüğü 121 (11²).

Herhangi birini araca yazarsanız bölmeyi adım adım görürsünüz; 91 için yapılan kontrol 7'de durur. Ters yönde de yanılgı olur: 41, 61, 97, 101, 127 gerçekten asaldır. 51 ile 57 çoğu zaman aynı soruda karışır; ikisi de 3'e bölünür, 51 = 3 × 17 ve 57 = 3 × 19. Rakamlarını toplamak bu ikisini birkaç saniyede eler.

1'den 100'e kadar asal sayılar tablosu

1 ile 100 arasında 25 asal sayı vardır. Aşağıdaki tablo onları onar onar gösteriyor; her satırdaki adet, o aralıkta kaç asal sayı olduğunu verir.

Tablodan okunabilecek birkaç kesin bilgi var. İki basamaklı en küçük asal sayı 11, en büyüğü 97; iki basamaklı 21 asal sayı bulunur. 2'den sonra bütün asal sayılar tektir ve 5'ten sonra hiçbiri 5 ya da 0 ile bitmez, bu yüzden 10'dan büyük bir asal sayının son rakamı yalnız 1, 3, 7 ya da 9 olabilir.

100'ün ötesinde asallar seyrekleşir ama bitmez. 101 ile 200 arasında 21 asal sayı var: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199. 200'e kadar toplam 46, 1000'e kadar toplam 168 asal sayı bulunur.

Üç basamaklı en küçük asal sayı 101, en büyüğü 997. Soru Romen rakamıyla gelirse önce Romen rakamını sayıya çevirin; örneğin CI = 101. Listeyi ezberlemek zorunda değilsiniz. Bir sonraki bölümdeki kalbur, 100'e kadar olan tabloyu kâğıt üzerinde birkaç dakikada çıkarır. Kendinizi sınamak isterseniz rastgele üç basamaklı sayılar üretip önce elle, sonra araçla kontrol edin.

Asal sayılar nasıl bulunur? Eratosthenes kalburu

2'den 100'e kadar sayıları yazın, sonra 2, 3, 5 ve 7'nin katlarını sırayla silin; silinmeden kalan 25 sayı, 100'e kadar olan asal sayıların tamamıdır.

Yöntem Kyreneli Eratosthenes'in adıyla anılır ve elle bulmanın en bilinen yoludur; her asalın katlarını silmeye o asalın karesinden başlarsınız. 7'nin katlarında 14, 21, 28 zaten 2, 3 veya 5 yüzünden silinmiştir; ilk yeni silinecek sayı 49'dur.

Neden 7'de durulur? Bir sonraki asal 11 ve 11 × 11 = 121, yani 100'ü geçer. 100'e kadar 11'in katı olan her sayının (22, 33, … 99) 11'den küçük bir çarpanı daha vardır ve o sayı daha önce silinmiştir. 200'e kadar kalbur kuracaksanız 13'e kadar (13² = 169), 1000'e kadar kuracaksanız 31'e kadar gitmeniz yeter.

Bir sayının asal olup olmadığı nasıl anlaşılır?

Sayının karekökünü bulun ve o değere kadar olan asal sayıları tek tek deneyin. Hiçbiri tam bölmüyorsa sayı asaldır.

223'ü deneyelim. √223 ≈ 14,93; bu yüzden yalnız 2, 3, 5, 7, 11 ve 13 denenir. Hiçbiri bölmez ve sonuç 223 için "asal sayı" çıkar; hemen yanındaki 221'de ise 13'te durursunuz: 221 = 13 × 17. Karekökü hızlı bulmak için karekök ve köklü sayı hesaplama aracını kullanabilirsiniz; ondalık kısmı önemsizdir, tam kısmına kadar denemek yeter.

Denemeyi hızlandıran bölünebilme kuralları:

• 2: son rakam çift.
• 3: rakamların toplamı 3'e bölünür (87 → 8 + 7 = 15).
• 5: son rakam 0 ya da 5.
• 7: son rakamın 2 katını geri kalan sayıdan çıkarın; sonuç 7'nin katıysa sayı da öyledir (119 → 11 − 18 = −7).
• 11: rakamları soldan başlayarak bir artı bir eksi toplayın; sonuç 0 ya da 11'in katıysa bölünür (143 → 1 − 4 + 3 = 0).

İki basamaklı sayılarda 7 kuralına gerek yok, 7'nin katlarını çarpım tablosundan hatırlamak daha kısadır. 13 ve üstü için pratik bir kural yoktur, doğrudan bölersiniz. Dört basamaklı bir sayıda denenecek asal sayısı 25'e kadar çıkar, çünkü √9.999 100'ün altındadır. Bu bölmeleri tek tek hesap makinesinde yapmak yerine sayıyı sayfanın üstündeki kutuya yazmak daha az hata demektir.

Asal çarpan nedir, asal çarpan ağacı nasıl çizilir?

Asal çarpan, bir sayıyı tam bölen asal sayıdır. Her pozitif tam sayı asal çarpanlarının çarpımı olarak tek bir biçimde yazılır; 360 için bu yazılış 2³ × 3² × 5.

Ağacı çizerken her adımda sayının en küçük asal bölenini ayırmak işinizi kolaylaştırır.

Son satırdaki çarpanlar asal olduğunda ağaç biter. Dallarda kalan asalları çarpım olarak yazınca 2³ × 3² × 5 çıkar. 360'ı araca yazarsanız sonuç "Asal değil" olur ve aynı çarpanlar ayrı satırda görünür. 360'ın bölen sayısı üslerin birer fazlasının çarpımıdır: (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24.

Tek bir asal çarpanı olan ama kendisi asal olmayan sayılar asalın kuvvetleridir. 100'e kadar bunlar 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 49, 64, 81; 25'in asal çarpanı yalnız 5'tir. Kaç farklı asal çarpan olduğu sorulduğunda üsler sayılmaz; 360'ın cevabı 3'tür. 1.001 = 7 × 11 × 13 de asal gibi görünen sayılara iyi bir örnek; rakamları toplamı 2, ama sayı asal değil ve 7, 11, 13'ün üçüne de bölünür.

Aralarında asal sayılar nedir?

İki sayının 1'den başka ortak böleni yoksa, yani en büyük ortak bölenleri 1 ise bu sayılar aralarında asaldır. Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez.

8 ve 15'in ikisi de asal değildir ama ortak bölenleri yalnız 1 olduğu için aralarında asaldır. 17 ve 34'te durum tersine döner: 17 asal olduğu hâlde 34'ü böldüğü için bu ikili aralarında asal sayılmaz. Asal olmak yetmez. Kontrol için iki sayının en büyük ortak bölenini bulmak yeter.

Ardışık iki sayı (49 ve 50 gibi) her zaman aralarında asaldır, çünkü ortak bölenleri farklarını, yani 1'i de bölmek zorundadır. Farklı iki asal sayı da her zaman aralarında asaldır. 1 ile her sayı aralarında asaldır; 1'in tek böleni kendisidir. 1'den 15'e kadar 15 ile aralarında asal olan sayılar şunlardır: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 (8 tane).

0, 1 ve negatif sayılar asal mı? En büyük asal sayı kaç?

0 da 1 de asal değildir; ortaokul ve lise matematiğinde asal sayı tanımı 1'den büyük doğal sayılar için yapıldığından negatif sayılar da asal sayılmaz.

1'i yazarsanız araç "Asal değil" der, çünkü tek böleni vardır. 0'ın durumu daha açıktır: sıfır olmayan her tam sayı 0'ı böler, yani 0'ın sonsuz sayıda böleni var. Araç 0 için de "Asal değil" sonucunu verir. Negatif sayı girdiğinizde araç hata verir ve pozitif bir sayı ister. Yükseköğretim cebirinde −7 gibi sayılar için "asal eleman" kavramı var, ama okul sorularındaki "negatif asal sayı olur mu" sorusunun cevabı hayırdır.

En büyük asal sayı yoktur. Öklid'in ispatına göre asal sayılar sonsuzdur: sonlu bir listedeki bütün asalları çarpıp 1 eklerseniz çıkan sayı listedeki hiçbir asala bölünmez. Bilinen en büyük asal ise GIMPS projesinin listesine göre 2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹ − 1 biçimindeki Mersenne asalıdır; 12 Ekim 2024'te bulundu ve 41.024.320 basamaklıdır.